Actualmente, diversos currículos de educación matemática promueven la enseñanza del álgebra desde educación primaria o infantil (p. ej. Ministerio de Educación de Chile, 2012; Ministerio de Educación y Formación Profesional [MEFP], 2022; National Council of Teacher of Mathematics [NCTM], 2003). En estas propuestas curriculares, y en las investigaciones en didáctica de la matemática, el objetivo es asociar el álgebra a modos de pensar más que al uso del simbolismo algebraico (Kieran, 2011). Pensar algebraicamente implica, entre otras cosas, generalizar, percibir estructuras algebraicas, analizar las relaciones entre las cantidades y resolver problemas (Kieran, 2022). La expresión de las ideas algebraicas se puede representar de modo tradicional (letras) o no, ya que el estudiantado puede recurrir a modos personales (Radford, 2018).

En el caso del currículo español (MEFP, 2022), el álgebra se ha introducido recientemente en educación primaria y se trata dentro del sentido algebraico. Una de las competencias específicas que se deben desarrollar en relación con este sentido es “interpretar situaciones de la vida cotidiana proporcionando una representación matemática” (p. 24487), la cual se considera el primer paso en la resolución de problemas. En este primer paso, la clave para una buena interpretación de la situación son la representación y la visualización del problema, que puede incluir mensajes verbales y visuales (dibujos, imágenes o fotografías).

En el ámbito de la resolución de problemas, las representaciones visuales, cuando se emplean de forma apropiada, permiten analizar los problemas y pensar de manera más flexible (NCTM, 2003); ayudan a comprender conceptos matemáticos y colaboran en el proceso de resolución (Goldin, 2002). Según Diezmann y English (2001), una representación gráfica visual que muestra la información de forma concreta y espacial ayuda a percibir la estructura de un problema y a sentar las bases para su resolución.

En este escrito se muestra una propuesta para introducir las ecuaciones e inecuaciones en educación primaria a través de problemas aritméticos con apoyo visual. Esto último, en consideración de todos los beneficios que este tipo de problemas aporta en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Además, buscamos proporcionar información útil para que los docentes puedan comprender y apoyar el pensamiento algebraico de sus estudiantes, a través de tareas que permitan representar y percibir ideas algebraicas, razonar sobre la generalidad y analizar las relaciones entre las cantidades. Sobre esto último, Kieran (2022) señala que son escasas, y por tanto necesarias, las investigaciones sobre el pensamiento algebraico de tipo estructural relacionado con la transformación de expresiones y la resolución de ecuaciones algebraicas. Lo que en este trabajo extendemos a las inecuaciones.

Nuestro objetivo es identificar las estructuras que estudiantes de 8 a 10 años evidencian en problemas con apoyo visual. Nos preguntamos ¿cuáles son las estructuras algebraicas que perciben al trabajar problemas con apoyo visual? y ¿cómo establecen equivalencias entre las diversas estructuras identificadas?

El presente documento muestra el análisis retrospectivo de parte de los datos recogidos durante el cuarto y último ciclo de un experimento de enseñanza desarrollado en el seno del proyecto más amplio centrado en el estudio del desarrollo del pensamiento algebraico en educación primaria¹. En la Figura 2 se muestran los objetivos de las intervenciones y las temáticas tratadas en cada ciclo. El experimento de enseñanza en el aula (Cobb y Gravemeijer, 2008) tuvo un carácter cualitativo, exploratorio y descriptivo, y su objetivo fue promover el pensamiento algebraico en educación primaria. En cada ciclo, para cada temática se implementaron cuatro o cinco sesiones de clase de una hora de duración aproximadamente.

En particular, en este trabajo analizamos los datos recogidos en dos aulas de 3.º y 4.º de primaria, durante el curso académico 23/24, cuando se trató el tema de las ecuaciones e inecuaciones. Acotamos nuestro estudio y nos centramos en mostrar parte de los resultados relacionados con los objetivos 2, 3, 4 y 5 del cuarto ciclo (Figura 2). En este artículo buscamos identificar las estructuras que estudiantes de 8 a 10 años evidencian en dos problemas con apoyo visual.

En este trabajo analizamos las respuestas de 51 estudiantes de educación primaria², de los cuales veintisiete son de 3.° (8-9 años) y veinticuatro de 4.° (9-10 años) de un colegio público de España. Recogimos la información bajo la aprobación de un informe del Comité de Ética de Investigación en Seres Humanos de la Universidad de Granada.

Con respecto a los conocimientos previos del estudiantado, cabe destacar la experiencia obtenida en el tercer ciclo del experimento de enseñanza (curso 22/23) sobre aritmética generalizada. El estudiantado realizó tareas que involucraban el uso de los símbolos de igualdad y desigualdad (=, ≠, > y <). También generalizaron y discutieron sobre algunas propiedades de la suma y de la multiplicación. La letra se introdujo desde el primer ciclo del estudio longitudinal para expresar el caso general y cantidades desconocidas, no obstante, el estudiantado podía representar estas cantidades del modo que quisieran. Además, durante todo el estudio longitudinal se promovieron las cuatro prácticas algebraicas mencionadas en nuestro marco teórico: generalizar, representar, justificar y razonar con estructuras y relaciones matemáticas.

Durante el experimento de enseñanza se mantuvo la disposición normal del aula, los estudiantes estaban sentados en parejas o tríos. Una investigadora desempeñó el papel de investigadora-docente (ID). Su rol principal fue motivar al estudiantado a participar activamente e interactuar entre ellos y aclarar sus dudas sobre las tareas. Otros miembros del equipo investigador actuaron como observadoras y grabaron en vídeo las sesiones. Los docentes habituales cumplieron un rol observador.

Diseñamos cuatro sesiones de 60 minutos cada una, implementadas en ambos cursos de igual modo. Cada una de las sesiones incluía distintas fases: introducción general de la tarea por parte de la ID; resolución de las tareas propuestas de forma individual o en pequeños grupos con fichas de trabajo, y debate general en el que el estudiantado podía compartir sus ideas con el resto de la clase, pedir a sus compañeros que explicaran su pensamiento o hacer sugerencias para revisar las respuestas o generalizaciones propuestas. El orden de las fases no era lineal. Esto último permitía al estudiantado retroceder y revisar sus estrategias, favoreciendo su autonomía en la toma de decisiones al resolver tareas matemáticas. La ID no dio al estudiantado ninguna explicación introductoria sobre las ecuaciones o inecuaciones.

En las primeras sesiones se realizó un diagnóstico en el que se presentaron tareas que tenían como propósito expresar igualdades y desigualdades en contextos numéricos (Figura 3).

Luego, para introducir las ecuaciones e inecuaciones se presentó primero un problema con apoyo visual cuya estructura era x + 12 = 22. Como se observa en la Figura 4, la cantidad desconocida estaba representada por un cofre cerrado y los tesoros eran monedas o diamantes que estaban dispuestos en grupos o de forma individual. Se buscaba que el apoyo visual permitiera expresar la cantidad de tesoros de múltiples formas, por ejemplo, los tesoros que encontró pueden ser expresados como 12 (total) o como 9 + 3 o 3 x 3 + 3 (si se descomponen en monedas y diamantes). El segundo problema involucraba la inecuación 14 + x < 26. Siguiendo la misma lógica anterior, como se observa en la Figura 5, la cantidad de botellas se podía expresar de múltiples formas dado que en la disposición visual se consideraron distintas agrupaciones y dos tipos de botellas diferentes (grandes y pequeñas). La cantidad desconocida se representó con una caja.

En la última sesión el foco estuvo centrado en estrategias informales para resolver ecuaciones e inecuaciones, sin embargo, estas tareas no serán analizadas en este trabajo.

Las fuentes de información de este estudio fueron las hojas de trabajo que completaron los estudiantes, las videograbaciones y las transcripciones de las sesiones. Nuestra unidad de análisis fueron las producciones escritas en las sesiones y las intervenciones orales realizadas en las puestas en común, las cuales fueron contrastadas en el análisis.

Las categorías usadas en este estudio emergen de un análisis inductivo de los datos. En primer lugar, identificamos las estructuras para diferenciar las correctas de las incorrectas. Consideramos una estructura correcta cuando presenta todos los elementos de la historia (valores conocidos y desconocidos y relación de igualdad y/o desigualdad) independientemente del orden en que expresen la historia. Además, consideramos como parcialmente correctas aquellas estructuras en las que el estudiante realizó un conteo de alguno de los elementos de modo incorrecto, otorgó un único valor a la cantidad indeterminada o evidenció una restricción no especificada en la historia. En la Figura 6 se muestra cómo se analizaron las respuestas seleccionadas y qué elementos se tuvieron en cuenta para poder caracterizar las estructuras identificadas al plantear los problemas con apoyo visual. Identificamos las distintas estructuras y las clasificamos en estructuras aditivas o multiplicativas. Realizada esta clasificación, para cada estructura atendimos a los elementos visualizados o representados. Nos preguntamos: ¿cómo representa la cantidad desconocida?, ¿cómo representa la cantidad de tesoros o botellas? y ¿qué tipo de relación expresa: igualdad o desigualdad?

Las dos primeras autoras de este estudio clasificaron las respuestas a las dos tareas de los estudiantes. En primer lugar, se analizaron las respuestas por escrito, las cuales posteriormente se completaron con hitos destacables de la puesta en común de los estudiantes. Cuando hubo discrepancias, las cuales surgieron en un momento inicial para diferenciar entre estructuras correctas e incorrectas, se discutieron hasta llegar a un acuerdo con la tercera autora del documento. Estas discrepancias se solucionaron consensuando lo que era una estructura correcta entre todas las autoras del documento.

El propósito de este escrito es identificar las estructuras que estudiantes de 8 a 10 años evidencian en problemas con apoyo visual. En primer lugar, nos preguntamos ¿cuáles son las estructuras algebraicas que perciben al trabajar problemas con apoyo visual? Observamos que el estudiantado expresa las historias matemáticas principalmente a través de estructuras aditivas en contraste con las multiplicativas. Aunque el apoyo visual muestra agrupaciones que podrían interpretarse como una multiplicación, esto se ignora en primera instancia, al igual que reportan Carraher et al. (2006). La percepción de la estructura multiplicativa necesitó de la mediación de la ID.

Observamos que tratar con cantidades desconocidas y representarlas con letras no supuso un problema para el estudiantado. En parte esto puede ser consecuencia de su experiencia en los ciclos previos del estudio longitudinal. No obstante, la tarea en sí misma también estaba diseñada para favorecer el uso y el reconocimiento de cantidades desconocidas, ya que, tal como lo evidencian Ayala-Altamirano et al. (2022) y Radford (2022), los contextos cercanos y el motivar a los estudiantes a “contar las historias” los alientan a percibir y tratar con cantidades desconocidas de un modo más accesible que simplemente con expresiones alfanuméricas aisladas.

Otro elemento analizado es cómo el estudiantado representa las cantidades conocidas. Coquin-Viennot y Moreau (2003) señalan que las representaciones únicas de la traducción de un problema son consecuencia del condicionamiento del lenguaje natural. Considerando esto, en el diseño de la tarea buscamos que el apoyo visual permitiera interpretaciones variadas y flexibles. Sin embargo, el estudiantado en su mayoría expresa las cantidades conocidas como un todo (p. ej., 22 tesoros), lo que lleva a que por escrito se obtengan representaciones únicas. La descomposición de los números, también utilizada en el trabajo de Kieran y Martínez-Hernández (2022), se empleó por escrito solo en cuatro casos y se logró percibir como una opción para contar las historias matemáticas cuando la ID validó estas formas de interpretar las imágenes y se discutió en las puestas en común. Estos hallazgos nos guían a reflexionar sobre la importancia del contexto amplio en el que se enmarca la tarea, el cual incluye elementos como la configuración social del aula, los discursos que se fomentan, las normas de participación, los medios materiales, entre otros (Kieran, 2019).

El último elemento analizado en las estructuras es cómo las relaciones de igualdad y desigualdad se representan. Notamos que la relación de desigualdad supone un mayor desafío. Solo cuatro estudiantes de 3.º de primaria responden correctamente y el estudiantado de 4.º, aunque ofrece mayor número de respuestas correctas, en algunos casos recurre a la ecuación para expresar la inecuación, tal como lo indican Tsamir y Almog (2001).

Cabe mencionar que, aunque los resultados reportan una dificultad para expresar matemáticamente las inecuaciones, el estudiantado sí logra demostrar que comprende parte de su significado. Paoletti et al. (2021) plantean que las inecuaciones pueden tener un significado comparativo o restrictivo. En las discusiones pareciera ser que el estudiantado evidencia el primero, dado que demuestran entender que Miguel debe tener menos botellas que Ana y Pedro, solo que dudan en cómo expresar eso. El estudiantado tiende a buscar solo una posible solución para establecer la comparación por escrito. Esto se podría explicar porque las relaciones de desigualdad se suelen emplear en educación primaria principalmente para comparar dos o más cantidades y no se trata el significado de la desigualdad en contextos que involucran cantidades desconocidas. El significado restrictivo implica buscar todas las posibles soluciones que hacen verdadera la inecuación, pero su dificultad radica en que la expresión matemática suele dejar implícitas todas esas posibles soluciones. Esto último podría ser un factor para considerar en la introducción de las inecuaciones en educación primaria. Es necesario contrastar la idea habitual de que los problemas tienen una única solución numérica (ecuaciones) con la idea de que es posible que tengan múltiples soluciones (inecuaciones) y que estas soluciones se pueden comunicar matemáticamente sin tener que escribir todos los números que forman el conjunto de soluciones.

La segunda pregunta de investigación que nos planteamos es ¿cómo se establecen equivalencias entre las diversas estructuras identificadas? Como se mencionó antes, por escrito la mayoría de los estudiantes ofrecen una estructura única. En nuestro estudio, la reflexión sobre la equivalencia se promovió principalmente en las discusiones grupales. En la gestión de la puesta en común la ID se aseguró de que se expusieran distintas estructuras, tanto correctas como incorrectas. El apoyo visual jugó un papel esencial, concretamente, la posibilidad ofrecida a los estudiantes de visualizar la historia y hacer corresponder los elementos de sus viñetas con los elementos de las estructuras favoreció la aceptación de distintos modos de expresar e identificar la equivalencia. Nuestros resultados indican que, al momento de representar los problemas de ecuaciones e inecuaciones con expresiones equivalentes, los elementos visuales son un recurso importante para aceptar estas equivalencias, permitiendo al estudiantado mirar el problema y tener un argumento fiable y simple para dialogar sobre la posibilidad de expresar de múltiples formas una misma situación. Radford (2022) y Marghetis et al. (2016) ya destacaban el rol de la visualización en el contexto de las ecuaciones, lo que ampliamos a las inecuaciones.

Siguiendo las ideas de Kieran y Martínez-Hernández (2022), el diálogo se podría complementar con el empleo de las propiedades de las operaciones y la igualdad y la descomposición y la composición de números, lo que en nuestros resultados también se emplea como argumento, pero en menor medida o de forma implícita. El fomento del uso de las propiedades y la descomposición y la composición de números se puede realizar de forma intencional a través de la intervención continua del docente. En nuestro estudio, la actuación de la ID favoreció la exploración de diversas estructuras matemáticas y la identificación de equivalencias entre ellas. A través de preguntas generales como “¿qué opinas de la respuesta de sus compañeras?” o preguntas específicas como “¿de dónde proviene esa letra?” o “¿cómo representaste menos que…?”, se promovió un entorno de reflexión y discusión que permitió a los estudiantes justificar sus representaciones y construir nuevas conexiones. Este enfoque activo y dialógico facilitó no solo la generación de múltiples estructuras, sino también el reconocimiento de relaciones entre estas, avanzando hacia una comprensión del concepto de equivalencia matemática. Este acompañamiento docente colaboró en la guía del aprendizaje, contribuyendo directamente a la consecución del objetivo del estudio, guiando las ideas iniciales de los estudiantes hacia un pensamiento algebraico (Blanton, & Kaput, 2003), al dar respuesta concretamente a la pregunta de investigación relacionada con el establecimiento de equivalencias entre las diversas estructuras.

Concluimos que la introducción de tareas sobre ecuaciones e inecuaciones con apoyo visual mediante historias matemáticas y el apoyo docente facilita que el estudiantado identifique estructuras equivalentes para una misma tarea. Basándonos en investigaciones previas, nuestra conjetura fue que los problemas al ser representados visualmente como unas historias a través de viñetas permitirían analizar los problemas y pensar de manera más flexible (NCTM, 2003); ayudarían a comprender conceptos matemáticos y colaborarían en el proceso de resolución (Goldin, 2002); y permitirían percibir la estructura de los problemas (Diezmann, & English, 2001). Al respecto, nuestros resultados fueron positivos, ya que el estudiantado logró captar diversas estructuras y establecer la equivalencia entre estas. A su vez, trataron con cantidades desconocidas y las expresaron de modo algebraico. Esto último ratifica la importancia de proponer representaciones apropiadas en contextos cercanos para el estudiantado de modo que se puedan centrar, en nuestro caso, en la equivalencia de las expresiones. Kieran (2022) señala que son escasas, y por tanto necesarias, las investigaciones sobre el pensamiento estructural relacionado con la transformación de expresiones y la resolución de ecuaciones algebraicas. Nuestro trabajo extiende el estudio anterior al contenido de las inecuaciones.

Una línea de investigación que complementaría nuestro estudio sería desarrollar una propuesta en la que se fomente más que el estudiantado justifique las equivalencias utilizando de manera explícita propiedades aritméticas, como asociativa, distributiva y conmutativa, así como estrategias de composición y descomposición de cantidades conocidas. Si bien en nuestro trabajo hay argumentos que hacen alusión a la propiedad conmutativa, esto se podría mejorar en futuras intervenciones. También se podrían presentar más tareas que permitan a los estudiantes familiarizarse con las inecuaciones y distinguirlas de las ecuaciones, debido a la baja cantidad de respuestas a la tarea de inecuación entre nuestros resultados.